Cette énigme des trois boîtes met à l’épreuve votre sens de la logique en mêlant boules dorées, boules argentées et probabilités simples. Le casse-tête demande d’évaluer une situation apparemment évidente mais qui pousse à reconsidérer l’intuition face aux mathématiques. Les notions de conditionnement et de raisonnement probabiliste se cachent derrière un geste aussi banal que piocher une boule. Si vous aimez les défis mentaux, ce problème vous invite à vérifier votre manière de raisonner.
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Quel est exactement l’énoncé de l’énigme?
Trois boîtes sont proposées, chacune contenant deux boules. La première renferme deux boules dorées, la deuxième une boule dorée et une boule argentée, et la troisième deux boules argentées. Le joueur choisit une boîte au hasard puis extrait une boule au hasard, et cette première boule se révèle être dorée.
La question porte sur la probabilité que la deuxième boule tirée dans la même boîte soit argentée. L’intuition initiale pousse souvent à répondre que la probabilité vaut 50 pour cent, mais une analyse plus rigoureuse impose de compter les cas possibles. Le problème devient un exercice de probabilités conditionnelles où le fait observé (une boule dorée) modifie la distribution des scénarios restants.
Comment raisonner pour obtenir la probabilité correcte?
La méthode la plus claire consiste à lister les scénarios élémentaires avant et après l’observation. Chaque boîte a initialement la même chance d’être choisie, soit un tiers chacune. Ensuite, il convient d’examiner la probabilité d’obtenir une boule dorée en premier pour chaque boîte afin de recalculer la probabilité d’être dans chaque situation après l’observation.
Un tableau synthétique aide à visualiser la situation et évite les erreurs d’intuition. Le tableau ci-dessous montre la composition des boîtes et les probabilités conditionnelles après le premier tirage doré.
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| Boîte | Contenu | Probabilité de tirer or en premier | Probabilité d’être dans la boîte si or observé | Probabilité que la suivante soit argentée |
|---|---|---|---|---|
| A | Or + Or | 1/3 × 1 = 1/3 | (1/3) ÷ (1/2) = 2/3 | 0 |
| B | Or + Argent | 1/3 × 1/2 = 1/6 | (1/6) ÷ (1/2) = 1/3 | 1 |
| C | Argent + Argent | 1/3 × 0 = 0 | 0 | — |
Quelles étapes suivre pour calculer la probabilité finale?
Il faut d’abord évaluer la probabilité d’avoir tiré une boule dorée à partir de l’ensemble des boîtes. Les contributions viennent uniquement des boîtes A et B, avec respectivement une probabilité de 1/3 et de 1/6, soit une probabilité totale de 1/2 pour obtenir une première boule dorée. Cette base sert ensuite à appliquer la formule de probabilité conditionnelle.
Les étapes clé sont les suivantes
- Énumérer les combinaisons possibles et les probabilités initiales.
- Calculer la probabilité d’observer l’événement donné (première boule dorée).
- Recalculer la probabilité d’être dans chaque boîte en appliquant la règle de Bayes élémentaire.
Pourquoi la réponse intuitive de 50 pour cent est-elle erronée?
Beaucoup de personnes raisonnent en ne tenant compte que des deux boîtes restantes supposées possibles après le tirage, oubliant que la boîte A offre deux issues dorées distinctes. L’observation d’une première boule dorée favorise mécaniquement la boîte A parce qu’elle contient deux boules dorées. Ce déséquilibre explique l’écart entre intuition et résultat formel.
En appliquant le calcul conditionnel, la probabilité d’être dans la boîte A devient 2/3 et celle d’être dans la boîte B devient 1/3 après avoir vu la boule dorée. La seule situation conduisant à une boule argentée au deuxième tirage correspond à la boîte B, qui pèse donc un tiers dans la distribution conditionnelle. La probabilité recherchée s’élève ainsi à 33,33 %.
Cette résolution illustre l’importance de compter correctement les cas élémentaires plutôt que de se fier à une symétrie apparente. Les paradoxes de ce type revêtent une grande valeur pédagogique pour comprendre les probabilités conditionnelles et éviter des erreurs fréquentes en raisonnement.
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